Анатолий Куцев начал свою карьеру в днепропетровском «Днепре» на позиции защитника. Наибольшее количество матчей Куцев провел в составе криворожского «Кривбаса» – 86 поединков, и «Динамо» – 158 игр, передает Footboom.com.
Тренерскую карьеру Куцев начал в 1994 году на должности ассистента главного тренера женской сборной Украины. После работал с молодежной командой. С 2007 по 2015 возглавлял первую сборную страны.
